#TODO 벡터의 표현 작성하기

벡터의 표현#

물리학에서 자연 현상을 정확하게 기술하려면 단순히 “얼마나”뿐만 아니라 “어느 방향으로”까지 표현해야 할 때가 많다. “공이 10 m/s로 움직인다”는 정보만으로는 공이 어디로 갈지 알 수 없다. 위로 던진 공인지, 아래로 떨어지는 공인지, 옆으로 굴러가는 공인지 구분할 수 없기 때문이다. 이처럼 크기와 방향을 함께 나타내야 하는 물리량을 다루기 위해 우리는 벡터라는 도구를 사용한다. 이 단원에서는 벡터를 어떻게 표현하고, 어떻게 다루는지 배운다. 벡터는 앞으로 배울 힘, 운동량, 전기장 등 거의 모든 물리 개념의 기초가 되므로, 여기서 확실히 익혀두자.

학습 목표#

스칼라와 벡터의 차이를 설명할 수 있다.

벡터를 화살표, 성분, 단위벡터로 표현할 수 있다.

벡터의 크기와 방향을 구할 수 있다.

1. 스칼라와 벡터#

물리량은 방향을 가질 수 없거나 가질 수 있는 것으로 두 종류로 나눌 수 있다.

IMPORTANT
스칼라 : 크기만 가지는 물리량
벡터 : 크기와 방향을 가지는 물리량

스칼라(Scalar)	벡터(Vector)
질량 5 kg	변위 동쪽으로 10m
온도 25°C	속도 북쪽으로 5m/s
시간 3초	힘 아래로 20N
에너지 100 J	가속도 오른쪽으로 2m/s²

생각해보기
“자동차가 100 km/h로 달린다”와 “자동차가 북쪽으로 100 km/h로 달린다”는 어떻게 다를까?

2. 벡터의 표기법#

벡터는 여러 가지 방법으로 표기할 수 있다.

화살표 표기#

문자 위에 화살표를 그린다.

\vec{A}, \quad \vec{F}, \quad \vec{v}

굵은 글씨 표기#

주로 교재나 논문에서 사용한다.

\mathbf{A}, \quad \mathbf{F}, \quad \mathbf{v}

크기 표기#

벡터의 크기(스칼라)는 절댓값 기호를 쓰거나 화살표 없이 쓴다.

|\vec{A}| = A

3. 벡터의 화살표 표현#

벡터를 그림으로 나타낼 때는 화살표를 사용한다.

벡터 화살표 표현 다이어그램 위치

화살표의 길이 → 벡터의 크기
화살표의 방향 → 벡터의 방향
화살표의 시작점 → 작용점

예시#

속도 $\vec{v}$ = 동쪽으로 5 m/s를 화살표로 나타내면:

동쪽 방향 벡터 예시 위치

그리기 규칙

적절한 축척을 정한다 (예: 1 m/s = 1 cm)

시작점을 찍는다 (보통은 물체위나 질량중심에 찍는다.)

정해진 방향으로 크기에 맞는 길이의 화살표를 그린다

4. 벡터의 성분 표현#

2차원 평면에서 벡터는 x성분과 y성분으로 분해할 수 있다.

성분 분해#

벡터 성분 분해 다이어그램 위치

벡터 $\vec{A}$ 가 x축과 각도 $\theta$ 를 이룰 때:

A_x = A\cos\theta

A_y = A\sin\theta

성분 표기#

\vec{A} = (A_x, A_y)

예시 문제#

크기가 10 N이고 x축과 30° 방향인 힘 $\vec{F}$ 의 성분을 구하시오.

풀이

벡터 성분 분해 예시 위치

F_x = 10 \times \cos30° = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \text{ N}

F_y = 10 \times \sin30° = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ N}

\therefore \vec{F} = (8.66, 5) \text{ N}

5. 성분으로부터 크기와 방향 구하기#

반대로, 성분을 알면 크기와 방향을 구할 수 있다.

크기#

피타고라스 정리를 이용한다.

|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}

방향#

삼각비를 이용한다.

\tan\theta = \frac{A_y}{A_x} \quad \Rightarrow \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right)

예시 문제#

$\vec{v} = (3, 4)$ m/s인 속도의 크기와 방향을 구하시오.

풀이

|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m/s}

\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1°

6. 단위벡터#

단위벡터는 크기가 1인 벡터로, 오직 방향만 나타낸다.

기본 단위벡터#

$\hat{i}$ (또는 $\hat{x}$ ): x축 양의 방향 단위벡터
$\hat{j}$ (또는 $\hat{y}$ ): y축 양의 방향 단위벡터
$\hat{k}$ (또는 $\hat{z}$ ): z축 양의 방향 단위벡터

단위벡터를 이용한 표현#

\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}

예시#

$\vec{F} = (8.66, 5)$ N을 단위벡터로 표현하면:

\vec{F} = 8.66\hat{i} + 5\hat{j} \text{ N}

왜 단위벡터를 쓸까?
성분 표기 $(A_x, A_y)$ 는 좌표를 나타내는 것처럼 보일 수 있다. 단위벡터 표기는 이것이 벡터임을 명확하게 보여준다.

7. 시뮬레이션으로 연습하기#

아래 PhET 시뮬레이션에서 직접 벡터를 만들고 성분을 확인해보자.

활동 안내#

벡터 만들기: 화살표를 드래그하여 벡터를 만들어보자
성분 확인: 벡터의 x성분, y성분 값을 확인하자
각도 변경: 같은 크기에서 각도를 바꾸면 성분이 어떻게 변하는가?
벡터 합성: 두 벡터를 더하면 어떤 결과가 나오는가?

8. 확인 문제#

문제 1#

다음 중 벡터인 것을 모두 고르시오.

(가) 질량 5 kg
(나) 변위 3 m (동쪽)
(다) 속력 10 m/s
(라) 가속도 2 m/s² (북쪽)

정답 확인

(나), (라)

(가) 질량은 크기만 있는 스칼라
(다) 속력은 속도의 크기이므로 스칼라
(나) 변위는 방향이 있으므로 벡터
(라) 가속도는 방향이 있으므로 벡터

문제 2#

크기가 20 N이고 x축과 60° 방향인 힘의 x성분과 y성분을 구하시오.

정답 확인

$F_x = 20\cos60° = 20 \times 0.5 = 10 \text{ N}$ $F_y = 20\sin60° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.3 \text{ N}$

문제 3#

$\vec{A} = (5, 12)$ 인 벡터의 크기를 구하시오.

정답 확인

$|\vec{A}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

문제 4#

$\vec{B} = 6\hat{i} - 8\hat{j}$ 인 벡터의 크기와 방향(x축 기준)을 구하시오.

정답 확인

크기: $|\vec{B}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

방향: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-8}{6}\right) \approx -53.1°$

(x축 아래쪽으로 53.1°, 또는 4사분면 방향)

핵심 정리#

표현 방법	예시	특징
화살표	![작은화살표]	직관적, 그래프에서 사용
성분 표기	$(A_x, A_y)$	계산에 편리
단위벡터 표기	$A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$	벡터임을 명확히 표현

핵심 공식#

\boxed{A_x = A\cos\theta, \quad A_y = A\sin\theta}

\boxed{|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right)}