자유물체도 그리기#

힘의 문제를 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 물체에 작용하는 모든 힘을 파악하는 것이다. 복잡한 상황에서 힘을 빠뜨리거나 잘못 그리면 문제를 풀 수 없다. 이때 사용하는 도구가 바로 자유물체도(Free Body Diagram, FBD) 이다.

자유물체도는 분석하려는 물체를 주변 환경에서 분리하고, 그 물체에 작용하는 모든 힘을 화살표로 표현한 그림이다.

학습 목표#

자유물체도의 개념과 필요성을 설명할 수 있다.

주어진 상황에서 물체에 작용하는 힘을 파악할 수 있다.

자유물체도를 단계별로 그릴 수 있다.

1. 자유물체도란?#

실제 상황 vs 자유물체도#

자유물체도 개념

왼쪽은 바닥에 놓인 상자의 실제 상황이다. 오른쪽은 같은 상황에 상자의 자유물체도를 그린것이다.

자유물체도에서는:

물체를 점 또는 간단한 도형으로 표현
물체에 작용하는 모든 힘을 화살표로 표시
각 힘에 기호와 이름을 붙임

왜 자유물체도가 필요한가?
복잡한 상황에서 힘을 하나라도 빠뜨리면 잘못된 답이 나온다. 자유물체도를 그리면 힘을 체계적으로 정리할 수 있고, 빠진 힘이 없는지 확인할 수 있다.

2. 자유물체도 그리기 4단계#

그리기 단계

단계	설명
Step 1	분석할 물체를 주변에서 분리한다
Step 2	물체의 무게 중심에 점을 찍는다
Step 3	물체에 작용하는 모든 힘을 화살표로 그린다
Step 4	각 힘에 기호와 이름을 붙인다

3. 자주 등장하는 힘들#

자유물체도를 그리려면 어떤 힘들이 작용하는지 알아야 한다.

힘	기호	방향	발생 조건
중력 (무게)	$\vec{W}$ 또는 $m\vec{g}$	항상 아래	질량이 있으면 항상
수직항력	$\vec{N}$	접촉면에 수직	표면과 접촉할 때
장력	$\vec{T}$	줄을 따라 당기는 방향	줄/끈으로 연결될 때
마찰력	$\vec{f}$	운동 반대 방향	거친 표면에서
가해진 힘	$\vec{F}$	힘을 가하는 방향	밀거나 당길 때

힘을 찾는 요령

중력은 항상 있다 (질량이 있으면)

접촉한 면이 있으면 수직항력 확인

줄/끈이 있으면 장력 확인

표면이 거칠면 마찰력 확인

누가 밀거나 당기면 외력 확인

4. 바닥 위 정지한 물체#

바닥 위 물체

상황#

질량 $m$ 인 물체가 수평면 위에 정지해 있다.

작용하는 힘#

중력 $\vec{W} = m\vec{g}$ : 아래 방향
수직항력 $\vec{N}$ : 위 방향 (바닥이 물체를 떠받침)

평형 조건#

물체가 정지해 있으므로:

\vec{N} + \vec{W} = 0 \quad \Rightarrow \quad N = mg

5. 줄에 매달린 물체#

매달린 물체

상황#

질량 $m$ 인 물체가 줄에 매달려 정지해 있다.

작용하는 힘#

중력 $\vec{W}$ : 아래 방향
장력 $\vec{T}$ : 위 방향 (줄이 물체를 당김)

평형 조건#

\vec{T} + \vec{W} = 0 \quad \Rightarrow \quad T = mg

6. 경사면 위 물체#

경사면 위 물체

상황#

경사각 $\theta$ 인 경사면 위에 물체가 놓여 있다.

작용하는 힘#

중력 $\vec{W}$ : 연직 아래 방향
수직항력 $\vec{N}$ : 경사면에 수직인 방향

좌표계 설정#

경사면 문제에서는 경사면을 따라 x’축, 경사면에 수직으로 y’축을 잡으면 편리하다.

힘의 분해#

힘의 분해

중력을 경사면 좌표계로 분해하면#

성분	식	의미
경사면 방향	$W_{x'} = mg\sin\theta$	물체를 빗면 아래로 끌어내리는 성분
경사면 수직	$W_{y'} = mg\cos\theta$	경사면에 수직으로 누르는 성분

평형 조건 (경사면 수직 방향)#

새로 설정한 x’y’(prime) 좌표계에 대해 수직항력 $N$ 은 경사면 수직으로 누르는 성분 $W_{y'}$ 과 크기가 같다. (y’방향으로 물체는 이동하지 않으므로)

N = mg\cos\theta

WARNING
주의!
경사면에서 $N \neq mg$ 이다. 수직항력은 $N = mg\cos\theta$ 로, 평지보다 작다.

7. 마찰력이 있는 경우#

마찰력

상황#

수평면 위의 물체를 오른쪽으로 밀고 있다.

작용하는 힘#

중력 $\vec{W}$ : 아래
수직항력 $\vec{N}$ : 위
가한 힘 $\vec{F}$ : 오른쪽
마찰력 $\vec{f}$ : 왼쪽 (운동 반대 방향)

마찰력의 방향#

마찰력은 항상 상대 운동을 방해하는 방향으로 작용한다.

문제 1#

위 상황에서 질량 $m = 2kg$ , 작용하는 힘 $F = 10N$ 일때 물체의 가속도 $a = 3m/s^2$ 이다. 이때 마찰력의 크기와 방향을 구하라.

정답 확인

마찰력은 항상 상대 운동을 방해하는 방향으로 작용한다. 따라서 이 경우 마찰력은 왼쪽으로 작용한다.

10 - f = ma \\ f = 10 - ma = 10 - 2 \times 3 = 4N

8. 도르래로 연결된 두 물체#

도르래

상황#

도르래를 통해 두 물체가 줄로 연결되어 있다.

핵심 포인트#

줄의 질량을 무시하면, 줄 전체에 걸쳐 장력은 동일하다
각 물체에 대해 별도의 자유물체도를 그린다

물체 $m_1$ 에 작용하는 힘과 운동방정식#

수직항력 $\vec{N}$ , 중력 $\vec{W}_1$ , 장력 $\vec{T}$

두 물체는 실로 연결되어 동일한 크기의 가속도 $a$ 로 운동한다.

x축 방향 (수평)#

T = m_1a \quad \cdots (1)

y축 방향 (수직)#

$m_1$ 은 수직 방향으로 움직이지 않으므로:

N - m_1g = 0 \quad \Rightarrow \quad N = m_1g

물체 $m_2$ 에 작용하는 힘과 운동방정식#

장력 $\vec{T}$ : 위 방향
중력 $\vec{W}_2 = m_2g$ : 아래 방향

$m_2$ 는 아래 방향으로 가속도 $a$ 로 운동한다. (아래 방향을 양의 방향으로 설정)

m_2g - T = m_2a \quad \cdots (2)

연립방정식 풀이#

식 (1)을 식 (2)에 대입하면:

m_2g - m_1a = m_2a

m_2g = m_1a + m_2a = (m_1 + m_2)a

따라서 가속도는:

\boxed{a = \frac{m_2}{m_1 + m_2}g}

장력은 식 (1)에 대입하여:

\boxed{T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}g}

결과 해석

$m_2 \gg m_1$ 이면: $a \approx g$ , $T \approx m_1 g$ (가벼운 물체가 빠르게 끌려감)

$m_1 \gg m_2$ 이면: $a \approx 0$ , $T \approx m_2 g$ (거의 움직이지 않음)

$m_1 = m_2$ 이면: $a = \frac{g}{2}$ , $T = \frac{mg}{2}$

문제#

마찰이 없는 수평면 위에 $m_1 = 3\text{ kg}$ 인 물체가 놓여 있고, 도르래를 통해 $m_2 = 2\text{ kg}$ 인 물체와 연결되어 있다. 줄의 질량은 무시한다. (g = 10 m/s²)

두 물체의 가속도를 구하시오.
줄의 장력을 구하시오.

정답 확인

1. 가속도

a = \frac{m_2}{m_1 + m_2}g = \frac{2}{3 + 2} \times 10 = \frac{2}{5} \times 10 = 4 \text{ m/s}^2

2. 장력

T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}g = \frac{3 \times 2}{3 + 2} \times 10 = \frac{6}{5} \times 10 = 12 \text{ N}

검산: $m_1$ 에 대해 $T = m_1 a = 3 \times 4 = 12$ N ✓

9. 자유물체도 체크리스트#

자유물체도를 그린 후 확인할 사항:

중력을 그렸는가?
접촉면이 있다면 수직항력을 그렸는가?
줄이 있다면 장력을 그렸는가?
마찰이 있다면 마찰력을 그렸는가?
외부에서 가한 힘이 있다면 그렸는가?
모든 힘에 기호를 붙였는가?
힘의 방향이 올바른가?

10. 확인 문제#

문제 1#

천장에 매달린 5 kg 물체의 자유물체도를 그리고, 줄의 장력을 구하시오. (g = 10 m/s²)

정답 확인

자유물체도: 위로 장력 $\vec{T}$ , 아래로 중력 $\vec{W}$

풀이: $T = mg = 5 \times 10 = 50 \text{ N}$

문제 2#

30° 경사면 위에 정지한 2 kg 물체에 작용하는 수직항력의 크기를 구하시오. (g = 10 m/s²)

정답 확인

$N = mg\cos\theta = 2 \times 10 \times \cos30° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.3 \text{ N}$

문제 3#

수평면 위의 10 kg 물체를 30 N의 힘으로 밀었더니 등속 운동을 했다. 마찰력의 크기는?

정답 확인

등속 운동이므로 알짜힘 = 0 $F - f = 0 \quad \Rightarrow \quad f = 30 \text{ N}$

11. 핵심 정리#

상황	주요 힘
바닥 위 물체	$\vec{W}$ , $\vec{N}$
매달린 물체	$\vec{W}$ , $\vec{T}$
경사면 위 물체	$\vec{W}$ , $\vec{N}$ (필요시 $\vec{f}$ )
밀리는 물체	$\vec{W}$ , $\vec{N}$ , $\vec{F}$ , $\vec{f}$

자유물체도 그리기#

학습 목표#

1. 자유물체도란?#

실제 상황 vs 자유물체도#

2. 자유물체도 그리기 4단계#

3. 자주 등장하는 힘들#

4. 바닥 위 정지한 물체#

상황#

작용하는 힘#

평형 조건#

5. 줄에 매달린 물체#

상황#

작용하는 힘#

평형 조건#

6. 경사면 위 물체#

상황#

작용하는 힘#

좌표계 설정#

힘의 분해#

중력을 경사면 좌표계로 분해하면#

평형 조건 (경사면 수직 방향)#

7. 마찰력이 있는 경우#

상황#

작용하는 힘#

마찰력의 방향#

문제 1#

8. 도르래로 연결된 두 물체#

상황#

핵심 포인트#

물체 m1m_1m1​에 작용하는 힘과 운동방정식#

x축 방향 (수평)#

y축 방향 (수직)#

물체 m2m_2m2​에 작용하는 힘과 운동방정식#

연립방정식 풀이#

문제#

9. 자유물체도 체크리스트#

10. 확인 문제#

문제 1#

문제 2#

문제 3#

11. 핵심 정리#

물체 $m_1$ 에 작용하는 힘과 운동방정식#

물체 $m_2$ 에 작용하는 힘과 운동방정식#