돌림힘: 회전을 만드는 힘의 효과#

문을 열 때 손잡이를 밀면 쉽게 열리지만, 경첩 가까이를 밀면 아무리 세게 밀어도 잘 열리지 않는다. 볼트를 풀 때도 짧은 렌치보다 긴 렌치가 훨씬 수월하다. 왜 그럴까?

이 현상의 비밀은 돌림힘(토크)에 있다. 물체를 회전시키려면 단순히 힘만 크다고 되는 것이 아니다. 어디에, 어떤 방향으로 힘을 가하느냐가 중요하다. 이 단원에서는 회전 운동의 핵심 개념인 돌림힘을 배워보자.

학습 목표#

돌림힘의 정의와 물리적 의미를 설명할 수 있다.

돌림힘의 크기를 계산할 수 있다. ( $\tau = rF\sin\theta$ )

모멘트 팔의 개념을 이해하고 활용할 수 있다.

오른손 법칙으로 돌림힘의 방향을 결정할 수 있다.

돌림힘의 평형 조건을 적용하여 문제를 풀 수 있다.

1. 돌림힘이란?#

직선 운동과 회전 운동의 비교#

직선 운동에서 힘(F)이 물체의 속도를 변화시키는 물리량이라면, 회전 운동에서는 돌림힘(τ)이 물체의 각속도를 변화시키는 물리량이다.

직선 운동	회전 운동
힘 $\vec{F}$	돌림힘 $\vec{\tau}$
질량 $m$	관성 모멘트 $I$
가속도 $\vec{a}$	각가속도 $\vec{\alpha}$
$\vec{F} = m\vec{a}$	$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$

IMPORTANT
돌림힘의 정의
돌림힘(torque, τ) 은 물체를 회전시키려는 힘의 효과를 나타내는 물리량이다.

기호: $\tau$ (그리스 문자 타우)

단위: $\mathrm{N \cdot m}$ (뉴턴미터)

WARNING
단위 주의
돌림힘의 단위 $\mathrm{N \cdot m}$ 과 에너지의 단위 $\mathrm{J}$ (줄)은 차원이 같지만, 물리적 의미가 다르므로 구분하여 사용한다.

2. 일상생활 속 돌림힘#

문 손잡이를 생각해보자. 손잡이에 힘을 가하면 문은 경첩을 중심으로 회전한다.

문 열기 비교

핵심 관찰:

손잡이 부분(회전축에서 먼 곳)을 밀면 → 큰 돌림힘 → 문이 쉽게 열림
경첩 근처(회전축에 가까운 곳)를 밀면 → 작은 돌림힘 → 문이 잘 안 열림

TIP
돌림힘의 핵심
돌림힘 = 힘의 크기 × 회전축까지의 거리
같은 힘이 작용해도 회전축에서 멀수록 더 큰 돌림힘이 발생한다!

3. 돌림힘의 수학적 표현#

벡터곱 정의#

돌림힘은 위치 벡터와 힘 벡터의 벡터곱(외적) 으로 정의된다.

\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}

고2에서 벡터 곱의 개념은 안다루니까 크기만 다뤄보겠습니다.

|\vec{\tau}| = rF\sin\theta

여기서 $\theta$ 는 $\vec{r}$ 과 $\vec{F}$ 사이의 각도이다.

돌림힘 벡터 정의

여기서: 오른손 법칙으로 회전방향과 토크의 방향을 찾을 수 있다.

$\vec{r}$ : 회전축에서 힘의 작용점까지의 위치 벡터
$\vec{F}$ : 가한 힘 벡터
$\vec{\tau}$ : 돌림힘 벡터

돌림힘의 크기#

벡터곱의 크기 공식에 따라:

\boxed{\tau = rF\sin\theta}

여기서 $\theta$ 는 $\vec{r}$ 과 $\vec{F}$ 사이의 각도이다.

각도에 따른 돌림힘 변화#

각도 $\theta$	$\sin\theta$	돌림힘	상황
$0°$	$0$	$\tau = 0$	힘이 회전축을 향함 (회전 없음)
$30°$	$0.5$	$\tau = 0.5rF$	비스듬히 밀 때
$45°$	$0.71$	$\tau \approx 0.71rF$
$90°$	$1$	$\tau = rF$	최대 (수직으로 밀 때)
$180°$	$0$	$\tau = 0$	힘이 회전축 반대로 향함

IMPORTANT
돌림힘 최대 조건
$\theta = 90°$ 일 때, 즉 힘이 위치 벡터에 수직일 때 돌림힘이 최대가 된다!
이것이 문을 밀 때 문에 수직으로 미는 것이 가장 효율적인 이유다.

4. 돌림힘의 방향: 오른손 법칙#

돌림힘은 벡터량이므로 크기뿐만 아니라 방향도 갖는다. 3차원 좌표계에서 생각해야한다. 위의 그림을 참고하시오 3.돌림힘의 수학적 표현

오른손 법칙#

오른손 법칙

오른손 법칙 사용법:

오른손 네 손가락을 $\vec{r}$ 방향으로 편다
$\vec{F}$ 방향으로 손가락을 감아쥔다
엄지손가락이 가리키는 방향이 돌림힘 $\vec{\tau}$ 의 방향이다

2차원에서의 부호 규약#

평면에서 회전 문제를 다룰 때는 다음 부호 규약을 사용한다:

회전 방향	돌림힘 방향	부호
반시계 방향 (CCW)	종이에서 나오는 방향 ⊙	양(+)
시계 방향 (CW)	종이로 들어가는 방향 ⊗	음(-)

5. 여러 돌림힘의 합성#

물체에 여러 힘이 작용할 때, 알짜 돌림힘은 각 돌림힘의 합이다.

\tau_{net} = \sum \tau_i = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 + \cdots

예제: 막대에 작용하는 두 힘#

NOTE
📷 이미지 필요: 두 힘에 의한 돌림힘
파일명: img/torque_two_forces.png 내용:

수평 막대, 왼쪽 끝이 회전축(점 O)

막대 중간(거리 r₁)에서 아래로 작용하는 힘 F₁

막대 끝(거리 r₂)에서 위로 작용하는 힘 F₂

각 돌림힘의 방향 표시 (CW, CCW) 크기: 16:9 비율

풀이 과정:

각 힘이 만드는 돌림힘 계산
부호 결정 (CCW: +, CW: -)
대수적으로 합산

\tau_{net} = \tau_1 + \tau_2 = (-r_1 F_1) + (+r_2 F_2)

6. 시뮬레이션으로 탐구하기#

연결된 시뮬레이션으로 이동하기 시뮬레이션

탐구 활동#

거리 변화: 힘의 작용점을 회전축에서 멀리/가까이 이동시켜보자. 돌림힘이 어떻게 변하는가?
각도 변화: 힘의 방향을 바꿔보자. 어떤 각도에서 돌림힘이 최대인가?
평형 찾기: 두 힘이 작용할 때 평형 조건을 찾아보자.

7. 형성평가#

📝 문제 1#

길이가 0.5 m인 렌치의 끝에 100 N의 힘을 수직으로 가했다. 돌림힘의 크기는?

정답 확인

$\tau = rF\sin\theta = 0.5 \times 100 \times \sin 90° = 0.5 \times 100 \times 1 = 50 \, \mathrm{N \cdot m}$

📝 문제 2#

위와 같은 상황에서 힘을 45° 각도로 비스듬히 가했다면 돌림힘은?

정답 확인

$\tau = rF\sin\theta = 0.5 \times 100 \times \sin 45° = 50 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 35.4 \, \mathrm{N \cdot m}$

수직으로 힘을 가할 때(50 N·m)보다 약 **70%**의 효율만 발생한다.

📝 문제 3#

돌림힘을 최대로 하기 위한 조건 두 가지를 쓰시오.

정답 확인

회전축에서 힘의 작용점까지의 거리( $r$ )를 최대로 한다.
힘의 방향이 위치 벡터에 수직( $\theta = 90°$ )이 되도록 한다.

📝 문제 4#

질량이 60 kg인 사람이 시소의 받침점에서 2 m 떨어진 곳에 앉아 있다. 질량이 40 kg인 사람이 균형을 맞추려면 받침점에서 얼마나 떨어진 곳에 앉아야 하는가?

정답 확인

돌림힘 평형 조건: $m_1 r_1 = m_2 r_2$ $60 \times 2 = 40 \times r_2$ $r_2 = \frac{120}{40} = 3 \, \mathrm{m}$

40 kg인 사람은 받침점에서 3 m 떨어진 곳에 앉아야 한다.

📝 문제 5#

길이 4 m인 균일한 막대(질량 10 kg)가 왼쪽 끝에서 1 m 떨어진 지점을 받침점으로 하여 수평으로 평형을 이루고 있다. 막대의 왼쪽 끝에 매달아야 할 추의 질량은? (g = 10 m/s²)

NOTE
📷 이미지 필요: 막대 평형 문제
파일명: img/rod_equilibrium_problem.png 내용:

수평 막대 (길이 4m)

왼쪽 끝에서 1m 지점에 삼각형 받침점

막대 질량 중심: 막대 중앙 (왼쪽 끝에서 2m = 받침점에서 오른쪽 1m)

왼쪽 끝에 추 (질량 M)

거리 표시: 받침점-추 = 1m, 받침점-막대중심 = 1m

각 무게 화살표: Mg, 10g

정답 확인

막대의 질량 중심은 막대 중앙(왼쪽 끝에서 2m), 즉 받침점에서 오른쪽으로 1m 지점.

받침점 기준 돌림힘:

추의 돌림힘 (반시계, +): $Mg \times 1$
막대의 돌림힘 (시계, -): $10g \times 1$

평형 조건 ( $\sum \tau = 0$ ): $Mg \times 1 - 10g \times 1 = 0$ $M = 10 \, \mathrm{kg}$

📝 문제 6#

다음 중 돌림힘에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르시오.

① 돌림힘의 단위는 J(줄)이다.
② 힘의 크기가 같아도 모멘트 팔이 길수록 돌림힘이 크다.
③ 힘이 회전축을 향하면 돌림힘은 0이다.
④ 돌림힘은 스칼라량이다.
⑤ 반시계 방향 회전을 일으키는 돌림힘을 양(+)으로 정한다.

정답 확인

②, ③, ⑤

① 틀림: 돌림힘의 단위는 N·m이다. J과 차원은 같지만 물리적 의미가 다르다.
② 맞음: $\tau = r_\perp F$ 에서 $r_\perp$ (모멘트 팔)이 클수록 $\tau$ 가 크다.
③ 맞음: 힘이 회전축을 향하면 $\theta = 0°$ 이므로 $\sin\theta = 0$ , 따라서 $\tau = 0$
④ 틀림: 돌림힘은 벡터량이다. (방향이 있다)
⑤ 맞음: 오른손 법칙에 의한 관례적 부호 규약이다.

📝 문제 7#

자동차 타이어를 교체할 때, 너트를 풀기 위해 50 cm 길이의 렌치를 사용했더니 200 N의 힘이 필요했다. 75 cm 길이의 렌치를 사용한다면 같은 돌림힘을 얻기 위해 필요한 힘은?

정답 확인

필요한 돌림힘: $\tau = r_1 F_1 = 0.5 \times 200 = 100 \, \mathrm{N \cdot m}$

새로운 렌치로 같은 돌림힘을 얻으려면: $\tau = r_2 F_2$ $100 = 0.75 \times F_2$ $F_2 = \frac{100}{0.75} \approx 133 \, \mathrm{N}$

약 133 N의 힘만 필요하다. (기존의 약 67%로 감소)

핵심 정리#

돌림힘의 정의와 공식#

항목	내용
정의	$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
크기	$\tau = rF\sin\theta = r_\perp F$
단위	$\mathrm{N \cdot m}$ (뉴턴미터)
방향	오른손 법칙 (CCW: +, CW: -)

핵심 공식#

\boxed{\tau = rF\sin\theta = r_\perp F}

\boxed{\sum \tau = 0 \quad \text{(회전 평형 조건)}}

\boxed{m_1 r_1 = m_2 r_2 \quad \text{(시소의 원리)}}

돌림힘 최대 조건#

회전축에서 힘의 작용점까지 거리 $r$ → 최대
힘과 위치 벡터 사이 각도 $\theta$ → 90°

다음 학습 내용#

다음 포스트에서는 물체가 움직이지도, 회전하지도 않는 평형과 안정성에 대해 알아보자. 힘의 평형과 돌림힘의 평형이 동시에 만족될 때 어떤 일이 일어나는지, 그리고 왜 어떤 물체는 쉽게 넘어지고 어떤 물체는 안정적인지 탐구해볼 것이다.