돌림힘 시뮬레이션#

1. 돌림힘의 정의#

돌림힘은 회전축으로부터의 거리와 힘의 외적으로 정의됩니다:

2차원에서는 스칼라 값으로 표현됩니다:

여기서:

• $\tau$: 돌림힘 (N·m)
• $r$: 회전축으로부터 힘의 작용점까지의 거리 (m)
• $F$: 가해진 힘의 크기 (N)
• $\theta$: r과 F 사이의 각도

2. 회전 운동 방정식#

돌림힘과 각가속도의 관계:

따라서 각가속도는:

여기서:

• $I$: 관성 모멘트 (kg·m²)
• $\alpha$: 각가속도 (rad/s²)

3. 각운동학 방정식#

각속도의 변화:

각도의 변화:

여기서:

• $\omega$: 각속도 (rad/s)
• $\theta$: 각도 (rad)

4. 관성 모멘트#

막대(균일한 직사각형)의 관성 모멘트:

여기서:

• $m$: 질량 (kg)
• $L$: 막대의 길이 (m)

Velocity Verlet 적분법#

정확한 회전 운동 시뮬레이션을 위해 Velocity Verlet 적분법을 사용합니다:

1. 각도 업데이트: $\theta_{n+1} = \theta_n + \omega_n \Delta t + \frac{1}{2}\alpha_n (\Delta t)^2$

2. 각속도 업데이트 (평균 각가속도 사용): $\omega_{n+1} = \omega_n + \frac{\alpha_n + \alpha_{n+1}}{2} \Delta t$

이 방법은 에너지 보존 특성이 우수하여 장시간 시뮬레이션에도 안정적입니다.

실시간 그래프#

• τ (돌림힘) 그래프: 가해진 돌림힘의 크기와 방향을 실시간으로 표시
• α (각가속도) 그래프: 돌림힘에 의한 각가속도 변화
• ω (각속도) 그래프: 시간에 따른 회전 속도 변화

1. 힘의 위치에 따른 효과#

• 중심에서 멀리 떨어진 곳에 힘을 가하면 더 큰 돌림힘이 발생합니다
• 같은 크기의 힘이라도 $r$이 클수록 $\tau = r \times F$에 의해 돌림힘이 커집니다

2. 힘의 방향에 따른 효과#

• 회전 반경에 수직인 방향으로 힘을 가할 때 가장 효과적입니다
• 회전축 방향으로 힘을 가하면 돌림힘이 발생하지 않습니다

3. 각운동량 보존#

• 힘을 제거하면 공기 저항에 의해 서서히 감속합니다
• 감쇠가 없다면 각운동량이 보존됩니다